МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ І Н С Т Р У К Ц І Я до лабораторної роботи № 5 з курсу " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" Затверджено на засіданні кафедри "Системи автоматизованого проектування" Протокол N 14 від 03.04.1997 р. Львів 1999 ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ. Інструкція до лабораторної роботи № 5 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І. – Львів: Видавництво ДУ "Львівська політехніка", 1999. – 12 с. Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц. Каркульовський В.І., канд. техн. наук, доц. Відповідальний за випуск С.П.Ткаченко, канд. техн. наук, доц. Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц. Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц. 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з чисельними методами розв'язку трансцендентних рівнянь та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Методи розв'язування нелінійних рівнянь Розв'язування нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різноманітних моделей пристроїв і систем автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки. Трансцендентними називаються нелінійні рівняння, що містять тригонометричні або інші нелінійні функції, наприклад, логарифмічну або експоненціальну. Існує ряд методів чисельного розв'язування трансцендентних рівнянь, доцільність використання кожного з яких визначається виглядом рівняння, його порядком, необхідною точністю. 2.2. Методи бісекції розв'язку трансцендентних рівнянь. 2.2.1. Метод половинного ділення. В цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, розміщених через рівні інтервали на осі x. Коли
і
мають протилежні знаки, то знаходять
та
Якщо знак
співпадає із знаком
, то в дальшому замість
використовується
. Якщо ж
має знак, протилежний знаку
, тобто співпадає зі знаком
, то на
заміняється це значення. Якщо
достатньо близьке до 0, то процес обчислення закінчується. Як умову припинення ітераційного процесу часто найбільш доцільно використовувати умову:
(1) де
- задана похибка знаходження кореня. Cтруктура алгоритму представлена на рис.1. Даний метод має малу швидкість збіжності. У порівнянні з початково знайденим інтервалом, в якому знаходиться корінь, його ширина після N ітерацій зменшується в 2N раз:
(2) Похибка знайденого рішення знаходиться в межах
(3) Ефективність даного методу:
(4) де n - кількість обчислень функції. 2.2.2. Метод золотого перерізу Алгоритм даного методу подібний до методу половинного ділен-ня, тільки поділ відрізка здійснюється виходячи із співвідношення золотого січення:
(5) Ефективність даного методу є більшою, ніж методу половинного ділення і оцінюється співвідношенням:
(6) 2.3. Метод хорд В основі цього методу лежить лінійна інтерполяція по двох значеннях функції, які мають протилежні знаки. При пошуку кореня метод забезпечує більшу збіжність, ніж попередні. Структура алгоритму представлена на рис.2. Визначаються значення функції в точках, розміщених на осі x через рівні інтервали. Це здійснюється до цього часу, поки
і
не будуть мати різних знаків. Пряма, проведена через ці дві точки, перетинає вісь x при значенні:
(7)  Далі визначають
і порівнюють його з
і
. В подальшому користуються
замість того значення, з яким воно співпадає по знаку. Якщо
дуже відрізняється від 0, то вся процедура повторюється спочатку. При
можна вважати, що
. Це справедливо при вузькому інтервалі і коли похідна змінюється плавно (менше ніж у два рази). Похибка розв'язку оцінюється по формулі:
(8...